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2018年03月12日

2018-03-12 20:54:12| 分类：默认分类 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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开学的第二周，终于赶在第一天把Lee和Schiffler的文章看完了。这篇去年十月贴在arXiv上的文章建立了cluster algebra和Jones polynomial的关系。Jones当年最初是借由Hecke algebra，定义了一个braid上的Markov function，从而得到了一个新的不变量。随后，由skein relation，spanning tree，Chern-Simons theory，quantum group等方式纷纷给出了Jones polynomial其他的计算方式。另一方面，cluster algebra的历史则更为短暂。本世纪初，Fomin和Zelevinsky写了一系列文章引入了cluster algebra。这种借由某种递归的方式定义的“algebra”，最近的动机是给出Lusztig的标准基一个组合的诠释。但是近十来年发现，cluster algebra与quiver representation, string theory, Poisson geometry, algebraic geometry, combinatorics, representation theory, Teichmuller theory以及quantum groups都建立了联系。因此，发现cluster algebra和Jones polynomial的关系，其实并不令人意外。毕竟quantum group可以导出Jones polynomial。

目前Lee和Schiffler的文章处理了2-bridge knots，其中中间的桥梁是continued fractions。continued fractions和2-bridge knots的关系是熟知的，和cluster algebra of surface type的关系是由snake diagram给出来的。整篇文章看下来，大概的意思就是Jones polynomial和某种specialized F-polynomial对于2-bridge knots给出的递归计算公式是一致的。背后想想应该还有更深层次的原因可以挖一挖。

昨晚散步的时候买了这期的《三联生活周刊》。有时候会忍不住想，《三两生活周刊》和《外滩画报》真是代表两个城市不同调性的最好诠释。

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