注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

BLOG'S CZY

czy's blog

 
 
 

日志

 
 
关于我
czy

啦啦啦

网易考拉推荐

四色定理  

2015-06-09 16:07:28|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |
1. 去年几个出版社来院里书展的时候看到这本Robin Wilson的《Four Colors Suffice》,不贵,就入手了。一来上《直观拓扑》时里面确然有一节是关于四色定理,多了解一些背景内容并没有什么坏处;二来这本书是Princeton大学出版社出版的Princeton Science Library系列之一,想来质量应该有保证;三则是此书之前曾经出版过一本黑白版的,一本关于四色定理的黑白书,读起来自然怪异的很,这次出了彩版,可读性大大增强。

2. 四色定理,简单的说,平面上任意一张地图一定可以只用四种颜色将每个国家染上颜色并且使得相邻国家的颜色不相同。这里,当然需要假定所谓的“国家”是连通的,或者用“区域”这个词会更好些。四色定理在所有数学定理里算是知名度相当高的一个了,至少可以和哥德巴赫猜想或者孪生素数猜想分庭抗争。原因不外乎问题易于理解,而证明则十分艰难。而那些诸如黎曼猜想或者Hodge猜想这样不易说清楚的问题,在非数学圈内知名度较小,同时吸引民间科学家的数量也极为有限。

3. 对于纯真的人而言,数学似乎是没有好坏优劣之分的。然而,如同理想照进现实一样,现实社会里,数学问题对于不同人的含义大相径庭。在整个四色定理的发展和证明过程中,几乎没有吸引到传统意义上的first-rate的数学家来做它——除了Minkowski以及他闹的那个笑话以外。Hilbert在他那二十三个问题里也没有把这个问题包含进去,尽管那时距离这个问题的提出已经过去了近五十年。据说当年Erdos见到Chern的时候也丢了几个问题给Chern做,在Erdos脑海里这种理解简单做起来无比复杂的问题简直信手拈来。Chern做了一个礼拜做不出来,Weil知道后跟Chern说不要浪费时间在这种问题上面。这种带有敌意的歧视我表示无可奈何但又完全可以理解。Erdos做的问题写的证明给Atiyah看,Atiyah看一周应该就可以看懂;反过来,Atiyah把指标定理给Erdos看,一周之内则未必能看懂。这赤裸裸的歧视链~

4. 1852年,Francis Guthrie尝试用四种颜色将England进行了染色,据悉,之前是由他哥哥将这件事告诉他的。随后,Guthrie将这个问题拿来问他的老师De Morgan。De Morgan表示不会(没有认为这是个trivial question表明Morgan还是很严肃),同年10月23号Morgan写信给当时的大数学家Hamilton求解。四色定理真正变成一个比较有名的问题还要等到1878年6月13号Cayley在伦敦数学会上宣读了该定理。在此期间,不少naive的证明也曾出现过,比如认为四色定理等价于K5(五个顶点的完全图)不能嵌入平面,后者可以利用欧拉公式轻易得证。然而后者只是前者的一个必要条件。

5. 第一个真正意义上的“证明”出现在1879年,Kempe发表了一份关于四色定理的“证明”在AJM上。这个证明是nontrivial的,并且在相当长一段时间内被认为是正确的。直到1890年,Heawood指出了Kempe证明的错误,并在Kempe的证明基础上,给出了“五色定理”的证明。这看似距离“四色定理”只有一步之遥了:只需要再削减一个颜色就大功告成。

6. Heawood的另一个了不起的工作在于将四色定理从球面(平面)的情形推广到高亏格曲面。出人意料的是,很快,Heawood就证明了在环面上要想将相邻国家染成不同颜色,至少并且只需要七种颜色。即环面上的“七色定理”。对于亏格为g的曲面,Heawood给出了所需颜色的下届估计1/2(7+(1+48g)^(1/2)),问题只是找出具体的实现。1968年,该猜想被Gerhard Ringel和Ted Youngs证明。

7. 1960s,Heinrich Heesch在四色定理上做了诸多的工作。Heinrich Heesch早年在哥廷根的时候因为解决了Hilbert第十八问题(regular parquet problem)而名声大噪。顺着当年Kempe的思路,经过后来诸如Birkhoff等人的发展,问题主要被归结成寻找unavoidable set of reducible configurations。当时,Heesch已经预感到这样的set可能非常大,也许有一万个configuration。Heesch一天做一个,大概检查了五百多个,并且信心满满。

8. Wolfgang Haken,四色定理证明过程的关键人物。我很早知道Haken,当然是因为三维流形中的Haken流形,尽管我完全不做Haken流形,但是开会听报告总是会不厌其烦地听到关于Haken流形的一切。很久之后我才知道,原来这个Haken就是那个证明四色定理的Haken。Haken念书的时候,听老师Karl Heinrich Weise提到了三个long-standing open problem:
1)Knot problem 判断一个纽结是否是平凡结
2)Poincare conjecture 判断单连通三维流形是否同胚于三维球面
3)四色定理 ……
其实在每一天大学课堂或者研究生讨论班上,总是提及一些公开问题。在我上直观拓扑时,我也会力所能及地提一些公开问题,尽管我内心里十分希望将它们布置成课后作业然后期待出现奇迹。但是现实是,大多数人在听过一个long-standing open problem后只是觉得,哦,这是一个大问题,好难,我尽量敬而远之罢。Haken没有这么想,Haken一生花了大部分时间来攻克这三个问题,并且非常有效率地,解决了其中的两个。这种气魄和勇气令我汗颜,试问,当你发现下一步需要验证一万种情况时,你有勇气继续下去么?还是自己宽慰,这么丑陋,肯定是走错了路,我再试试有没有别的捷径。

9. 计算机。这可以算是第一次计算机在数学证明力起到如此重要的作用,因此引起一些争论和讨论也是情理之中的事情。四十年后,利用计算机来辅助计算已经变成数学里必不可少的一环。随便举个例子,如果没有计算机,纽结表几乎无法继续手工往后做,这样也就不会发现交叉数是奇数的交错无手性纽结的例子。当然,在很多人眼里,借助计算机来完成一个证明,就不能算是一个数学的证明。

10. 数学证明。M Klein有一本很有名的数学史书《古今数学思想》,除此以外,还有一本同样有名的《数学:确定性的丧失》。现如今,似乎同样的问题愈演愈烈。一个数学定理的证明,如果需要写五百页或者更多,那么审稿和检查无疑是几乎不能做到万无一失的。大多数情况,依靠的是对作者之前信誉的认可和大致逻辑推理的认同。至于细节,逐字逐句地检查几乎是不可能发生的。一个例子便是有限单群的分类,似乎大众普遍认为这个问题就算是做完了,尽管经历了数百人的努力和数千页的论证。至于里面到底有没有问题,谁也不敢打包票。如果一件事情,需要花一个人一生的时间才能检验一遍,或者一生的时间也不够,那这个问题是不是就是不可知的。扯到了不可知论,我这悲观主义的loser心态……
  评论这张
 
阅读(54)| 评论(0)
推荐 转载

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2017